یک راه حل خود گردان پارامتری برای MANOVA تحت شرایط ناهم واریانسی

یک راه حل خود گردان پارامتری برای MANOVA تحت شرایط ناهم واریانسی – ایران ترجمه – Irantarjomeh

مقالات ترجمه شده آماده گروه حسابداری

مقالات ترجمه شده آماده کل گروه های دانشگاهی

مقالات

چگونگی سفارش مقاله

الف – پرداخت وجه بحساب وب سایت ایران ترجمه(شماره حساب)ب- اطلاع جزئیات به ایمیل irantarjomeh@gmail.comشامل: مبلغ پرداختی – شماره فیش / ارجاع و تاریخ پرداخت – مقاله مورد نظر --مقالات آماده سفارش داده شده پس از تایید به ایمیل شما ارسال خواهند شد.

یک راه حل خود گردان پارامتری برای MANOVA تحت شرایط ناهم واریانسی

چکیده

در این مقاله، ما مشکل مقایسه بردارهای میانگین نرمال چند متغیره، به هنگامی‌ که ماتریس های کوواریانس ناشناخته و ماتریس‌های همیشه مثبت دلخواه یا اختیاری می‌باشند، را مورد ملاحظه قرار می‌دهیم. بر این مبنا، ما یک دیدگاه خودگردان پارامتری (PB) را پیشنهاد نموده و یک تقریب در زمینه توزیع کمیت محوریPB برای مقایسه دو بردار میانگین را توسعه داده ایم. این آزمون تقریبی به نظر همانند همانند آزمون ناوردا می‌باشد که در آزمون Krishnamoorthy و Yu  و آزمون تعدیل یافته Nel و Van der Merwe برای مسئله بئرنس-فیشر (Behrens-Fisher) چند متغیره، Stat.Probab.Lett.66(2004),pp.161–۱۶۹،  برای مسئله بئرنس-فیشر، بیان شده است. بعلاوه، ما نسبت به مقایسه آزمون PB با دو آزمون ناوردای موجود از طریق شبیه سازی مونت کارلو  (Monte Carlo) اقدام می‌نماییم. نتایج شبیه سازی ما معرف آن می‌باشد که آزمون PB کنترل کننده نرخ های خطای نوع I به طور موفقیت آمیزی می‌باشد، جائیکه آزمون های دیگر در این زمینه از نظر گسترده‌تری بیشتری برخوردار بوده، مخصوصاً به هنگامی ‌که تعداد میانگین های مورد مقایسه معتدل و/ یا اندازه های نمونه کوچک باشند. این آزمون ها با استفاده از یک مثال تشریح شده اند.

کلمات کلیدی: پی (p) – مقدار تعمیم یافته، آزمون متغیر تعمیم یافته، آزمون جوهانسن (Johansen ) ، تقریب گشتاوری، آزمون تعدیل یافته Nel–Van der Merwe ، خطای نوع I.

یک راه حل خود گردان پارامتری برای MANOVA تحت شرایط ناهم واریانسی

۱- مقدمه

مشکل مقایسه بردارهای میانگین چندین جمعیت‌ها (جوامع)  نرمال چند متغیره بعنوان تحلیل چند متغیره واریانس (MANOVA) شناخته می‌شوند. در صورتی که ماتریس های کوواریانس جمعیت تساوی فرض شوند، بنابراین برخی از آزمون‌های  معروف جهت بررسی تساوی بردارهای میانگین موجود می‌باشند. آزمون هایی که هم اکنون به طور شایع استفاده می‌شوند عبارتند از بزرگترین مقدار (ریشه) روی (Roy) [1]، اثر لالی- هتلینگ (Lawley-Hotelling) [2,3] ، نسبت درستنمایی ویلکس (Wilks) [4] و اثر پیلای بارتلت (Pillai–Bartlett) [5,6]. به هنگامی‌ که از فرضیه استاندارد عدول شود، به معنی ماتریس های کوواریانس جمعیتی نامساوی، اولسون (Olson) [7,8] بواسطه قدرتمندی در برابر چنین  نقص‌هایی، اثر پیلای بارتلت را توصیه می‌نماید. در صورتی که، تنها دو میانگین جمعیتی را می‌بایست، با توجه بدانکه ماتریس های کوواریانس مساوی می‌باشند، مورد مقایسه قرار داد، بنابراین تنها قدرتمندترین آزمون ناوردا بصورت یکنواخت تحت عنوان آزمون هتلینگ T² موجود خواهد بود. با این وجود، چنین آزمونی، ممکن است بصورت کاملا اریب و به هنگامی جلوه نماید که فرضیه تساوی ماتریس های کوواریانس محقق نشود، که خود منجر به تصمیمات دروغین در خصوص فرضیه صفر میانگین‌های برابر می‌شود. بعلاوه، فرضیه همگنی واریانس در این زمینه به احتمال زیاد تحقق نخواهد یافت.

این مقاله به شرح ذیل سازماندهی شده است. در بخش ذیل، ما برخی از نتایج مقدماتی و نتایج توزیعی را ارائه می‌نماییم. در بخش ۳، ما آزمون جوهانسن، که بر مبنای دیدگاهGV می‌باشد [۲۴]، را مورد خطاب قرار داده و یک کمیت محوری PB برای مورد k=2 را از آن بدست می‌آوریم و سپس یک تقریب گشتاوری برای توزیع کمیت محوری PB را فراهم خواهیم ساخت. این آزمون بر مبنای تقریب گشتاوری مشابه با آزمون MNV می‌باشد، مطرح شده بوسیله کریشنامورسی و یو [۱۸]، که بر مبنای اظهارات قبلی به نظر بهترین نوع برای مسئله بئرنس-فیشر چند متغیره خواهد بود. در بخش ۴، ما آزمون جوهانسن، آزمونGV و آزمون PB با توجه به نرخ های خطای نوع I را مقایسه می‌کنیم. نتایج مقایسه‌ای ما نشان می‌دهند که آزمون PB بعنوان تنها آزمونی بشمار می‌آید که دارای عملکرد کاملاً رضایت بخشی برای کلیه ابعاد، اندازه نمونه و پیکربندی های پارامتری مد نظر می‌باشد. این آزمون ها با استفاده از یک مثال در بخش ۵ تشریح شده اند و در نهایت برخی از نکات مرتبط با نتیجه گیری در بخش ۶ عرضه خواهند شد.

یک راه حل خود گردان پارامتری برای MANOVA تحت شرایط ناهم واریانسی

۲- برخی از رویه های مقدماتی

اجازه دهید تا  بعنوان یک نمونه از متغیرـ p توزیع نرمال با بردار میانگین  و ماتریس کوواریانس  در نظر گرفته شود. فرض شود که کلیه نمونه ها مستقل می‌باشند. حال اجازه دهید تا  و  بترتیب معرف میانگین نمونه و ماتریس کوواریانس نمونه بر مبنای i‌امین نمونه باشند. بدان معنا که:

۳- آزمونها

ما هم اکنون اقدام به تشریح ۳ آزمونی می‌نماییم که از  در معادله (۶) به عنوان آماره آزمون استفاده می‌کند.

۳-۱٫ آزمون جوهانسن

آزمون جوهانسن [۱۴] بر مبنای آماره آزمون بنا شده است:

۲-۳٫ آزمون متغیر تعمیم داده شده

گمیج و همکاران [۲۴] آزمونی را پیشنهاد نموده اند که تحت عنوان آزمون GV خوانده می‌شود و بر مبنای مفهوم پی (p)- مقدار تعمیم یافته ارائه شده بوسیله تسوئی (Tsui) و ویراهندی (Weerahandi) [27] می‌باشد. جهت تشریح این آزمون، اجازه دهید تا  به عنوان یک مقدار مشخص شده  باشد و همچنین اجازه دهید تا:

۳-۳٫ آزمون خود گردان پارامتری (PB)

آزمون PB شامل نمونه گیری از مدل های ارزیابی شده می‌باشد. این بدان معناست که نمونه ها یا آماره نمونه از مدل های پارامتریک ساخته شده و پارامترها بعنوان جایگزین برآورده‌های آنها بشمار آمده و نمونه های ایجادی جهت مشخص نمودن تقریب توزیع صفر یک آماره آزمون به کار گرفته می‌شوند. به یاد آورید که تحت   کلیه  ها دارای میانگین یکسانی می‌باشند. با توجه بدانکه آماره آزمون T در معادله (۶) بعنوان ناوردای مکان، بدون از دست دادن عمومیت، می‌باشد، ما می‌توانیم این میانگین مشترک را بعنوان بردار صفرها جهت یافتن توزیع صفر T در نظر بگیریم. با استفاده از این حقایق، کمیت محوریPB را می‌توان به شرح ذیل حاصل نمود.  با توجه به  و ، جائیکه  یک مقدار مشخص شده  است . برحسب این مقادیر تصادفی، ما کمیت محوری PB را به شرح ذیل تعریف می‌کنیم:

یک راه حل خود گردان پارامتری برای MANOVA تحت شرایط ناهم واریانسی

۴- مطالعات مونت کارلو

 با توجه بدانکه کلیه آزمونها به صورت ناوردای مکان می‌باشند، ما می‌توانیم  را بعنوان بردار صفرها برای ارزیابی نرخ های خطای نوع I بشمار آوریم. برای مقایسه دو میانگین گروه با استفاده از آزمون های ناوردا، ما می‌توانیم در نظر داشته باشیم که  بعنوان ماتریس همانی و  بعنوان  مد نظر خواهند بود، جائیکه  بعنوان ویژه مقادیر  است. علت این امر نیز آن است که یک ماتریس ناتکین M نظیر  و   وجود داشته و رویه های آزمون ناوردای افین می‌باشند. برای حالت مقایسه بیش از دو بردار میانگین جمعیتی، فضای پارامتری نمی‌تواند چندان ساده باشد، به جزء آنکه قابلیت تحصیل   را داشته و دیگر ماتریس ها بصورت همیشه مثبت دلخواه باشند. حتی با وجود آنکه آزمون GV بعنوان ناوردای ناتکین به شمار نیامده، برای سادگی و راحتی کار ما می‌بایست اندازه های این آزمون ها را برای فضای پارامتری تشریح شده فوق مورد ارزیابی قرار دهیم. جهت محاسبه اندازه آزمون های مختلف از طریق شبیه سازی مونت کارلو ما از زیر روتین IMSL مرتبط با RNMVN به منظور تولید بردارهای تصادفی نرمال چند متغیره p*1 و الگوریتم آمار کاربردی (AS 53)، مبتنی بر نظرات اسمیت و هاکینگ [۲۹]، جهت ایجاد ماتریس‌های تصادفی ویشارت استفاده می‌کنیم. برای ارزیابی اندازه های آزمون جوهانسن، ما از یک رویه شبیه سازی که حاوی بیش از۱۰ هزار اجرا می‌باشد بهره گرفتیم. توجه داشته باشید که دو رویه آشیانی «انجام حلقه ها یا لوپ‌ ها» (do loop) جهت ارزیابی اندازه های آزمون هایGV و PB لازم می‌باشند. بر این مبنا ما از ۲۵۰۰ اجرا برای «انجام لوپ» بیرونی (برای تولید آمارهای مشاهده شده  و  و ۵۰۰۰ اجرا برای «لوپ داخلی» (برای تولید بردارهای تصادفی نرمال استاندارد و ماتریس های ویشارت) استفاده نمودیم.

۵- مثال های تشریحی

با استفاده از مجموعه های داده‌ای که به طور ابتدا به ساکن بوسیله تامسون (Thomson) و راندل ماسیور (Randall Maciver) [30] مورد بحث قرار گرفته اند، این سه آزمون را مورد تشریح قرار می‌دهیم، به گونه ای که قابلیت مقایسه نتایج خود را داشته و بتوانیم رفتار این سه آزمون، که در بخش ۳ برای مقایسه چندین گروه تشریح شده اند، را درک نماییم. در اینجا ۵ نمونه از۳۰ جمجمه وابسته به دوره‌های ذیل وجود دارند: دوران ماقبل- دودمانی یا پادشاهی اولیه (در حدود۴۰۰۰ قبل از میلاد)، دوره آخر ماقبل- پادشاهی (در حدود ۳۳۰۰ قبل از میلاد)، سلسله های دوازدهم و سیزدهم پادشاهی (در حدود ۱۸۵۰ قبل از میلاد)، دوره بطلمیوسی (در حدود۲۰۰ قبل از میلاد)، و دوره روم (در حدود ۱۵۰ بعد از میلاد). ۴ رویه سنجشی برای هر جمجمه وجود دارند که عبارتند از: X₁= حداکثر پهنا ، X₂= بلندی بوربوریگماتیک (borborygmatic)، X₃= طول دندانی آلوئولی (dentoalveolar) و X₄= بلندی دماغ (nasal) (همگی به مبنای میلیمتر). این رویه‌های سنجشی با توجه به آزمایشات اعمالی بر روی جمجمه‌های مصریان مذکر از منطقه تبس (Thebes) حاصل شده‌اند که اطلاعات آن  در Statlib  و به آرسی اینترنتی ذیل وجود دارد:

۱-۵٫ آزمون جوهانسن

با استفاده از معادله های (۹) و (۸)، به ترتیب، ما می‌توانیم  و  را بدست آوریم. مقدار مشاهده شده آماره آزمون جوهانسن به شرح ذیل است:

۲-۵٫ آزمون متغیر تعمیم یافته

جهت به کار گیری این آزمون، ما در ابتدا نسبت به محاسبه  و بردارهای میانگین  اقدام می‌نماییم و سپس مقادیر ۱۰۰۰۰۰ متغیر G در معادله (۱۱) را تولید می‌کنیم. ما پی- مقدار را از طریق نسبت این مقادیر ایجادی ۱۰۰۰۰۰ که بزرگتر از یا مساوی با ۱ می‌باشند و بوسیله ۰٫۰۰۰۹ مشخص شده است، را محاسبه می‌کنیم. به طور آشکار، ما H₀ را رد می‌کنیم. این بدان معناست که جمجمه های مصریان در بردارنده یک تغییر قابل توجه در خلال این ۴ دوره می‌باشد.

۳-۵٫ آزمون خود گردان پارامتری

 جهت محاسبه پی- مقدار PB، ما ضرایب  چولسکی  (بگونه‌ای که )، را مورد محاسبه قرار می‌دهیم:

یک راه حل خود گردان پارامتری برای MANOVA تحت شرایط ناهم واریانسی

۶- ملاحظات مربوط به نتیجه گیری

ما نتایج تک متغیره حاصله از سوی کریشنامورسی و همکاران [۲۶]  در مورد MANOVA را گسترش داده و نشان دادیم که روش های تقریب موجود رضایت بخش نخواهند بود و آزمون GV که اخیراً توسعه یافته است، عملکرد ضعیفی را با توجه به نرخ های خطای نوع I، به نمایش می‌گذارد. آزمونPB پیشنهادی بعنوان تنها آزمونی به شمار می‌آید که از عملکرد رضایت بخشی برای کلیه موقعیت های مد نظر برخوردار می‌باشد. بعلاوه، آزمونPB، جهت به کارگیری در برنامه‌های کاربردی، به سادگی دیگر آزمون ها خواهد بود. برای حالت خاص مقایسه دو بردار میانگین، ما یک آزمون تقریب را توسعه دادیم که مشابه با آزمون رضایت بخش موجود ارائه شده بوسیله کریشنامورسی و یو [۱۸] می‌باشد. بر این مبنا می‌توان در نظر گرفت که دیدگاه PB را می‌توان جهت حاصل آوردن آزمون تقریب تحلیلی برای حالت کلی مقایسه چندین بردار میانگین نرمال به کار گرفت. ما از روش تطابق یا جور شدگی گشتاوری جهت یافتن یک آزمون تقریب برای مسئله چند متغیره بئرنس- فیشر بهره گرفتیم. در حال حاضر ، ما توانایی گسترش روش جور شدگی گشتاوری جهت حاصل آوردن یک آزمون تقریب برای حالت کلی را نداشته و بر این مبنا، جهت بررسی این مسئله لازم است تا اعمال مطالعات و بررسیهای آتی را مد نظر قرار دهیم.